ro-lihd-examen-2004-janvier.tex

Contenu du fichier

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\newcommand{\pts}[1]{\hspace{-15mm}\makebox[15mm][l]{\fbox{#1 pts}}}
\renewcommand{\thesection}{Question \arabic{section}}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\renewcommand{\tablename}{Tableau}
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{flushleft} \begin{tabular}{ll}
 NOM & :\\
 PRENOM & :
\end{tabular} \end{flushleft}

\begin{center}
{\LARGE \bf Recherche op�tionnelle}\\
\bigskip
{\Large FUNDP : 2� LIHD\\}
{\Large Examen d'exercices du 5 janvier 2004}
\end{center}

\section{(8pts) }
Un manufacturier produit 4 produits alimentaires : P1, P2, P3 et P4. Ces produits requi�nt l'intervention de 3 ateliers
distincts : A1, A2, A3. Le tableau \ref{DF} pr�nte les donn� relatives aux dur� de production et aux disponiblilit�de
ces ateliers au cours du prochain mois.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc|c}
 & \multicolumn{4}{c|}{Temps requis (h/caisse)}&Heures\\
Atelier& P1 & P2 & P3 & P4 & disponibles\\
\hline
A1 & 0,12 & 0,15 & 0,10 & 0,09 & 2760\\
A2 & 0,10 & 0,09 & 0,15 & 0,10 & 2500\\
A3 & 0,05 & 0,04 & 0,04 & 0,05 & 2760\\
\end{tabular}
\caption{\label{DF}Donn� de fabrication}
\end{center}
\end{table}

\vspace{-5mm}
Ce qui est fabriqu� au cours du mois n'est livr�u'�a fin du mois suivant; en effet, une p�ode minimale d'un mois de
m�ement et d'affinage est requise pour que les produits atteignent leur pleine saveur. L'espace d'entreposage requis pour
une caisse de chaque produit ainsi que le profit (hors co� stockage) par caisse sont donn�dans le tableau \ref{ES}.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|cccc}
& P1 & P2 & P3 & P4\\
\hline
Espace ($m^3$/caisse) & 0,27 & 0,28 & 0,29 & 0,24\\
Profit (\$/caisse) & 2,20 & 1,90 & 2,25 & 1,71\\
\end{tabular}
\caption{\label{ES}Espace d'entreposage et profit par caisse}
\end{center}
\end{table}

\vspace{-5mm}
Le manufacturier dispose de 4000~$m^3$ d'espace d'entreposage, qui lui co� 1200~\$ par mois. Il peut louer de l'espace
suppl�ntaire (maximum 8000~$m^3$), par tranche de 2000~$m^3$, aux tarifs mensuels d�essifs donn�dans le tableau
\ref{CL}.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|cccc}
Espace ($m^3$) & 2000 & 4000 & 6000 & 8000\\
\hline
Co�$) & 3000 & 4800 & 6400 & 7800\\
\end{tabular}
\caption{\label{CL}Co� location}
\end{center}
\end{table}

\vspace{-5mm}
\begin{enumerate}
\item Mod�ser ce probl� sous la forme d'un probl� lin�re sachant que le manufacturier cherche �aximiser son profit.
%\item Apr�optimisation de son processus de fabrication,  le manufacturier constate qu'il peut choisir deux parmi ses trois
%ateliers dans lesquels il peut augmenter de 100 le nombre d'heures disponibles. Comment est modifier votre mod�~?
\item \textbf{QUESTION BONUS} : Une rupture de contrat avec un fournisseur implique un c�suppl�ntaire par caisse de P1 produite. Ce co�t de
0,02~\$/caisse pour les 500 premi�s caisses de P1 produites, 0,04~\$/caisse pour les 1000 suivantes et 0,07~\$/caisse pour
les autres. Que devient votre mod�~?
\end{enumerate}

\section{(8pts) }
Soit
$$
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\renewcommand{\arraycolsep}{1.0 pt}
\begin{array}{ll}
\max  & z = \frac{59}{7}-\frac{4}{7}x_3 -\frac{1}{7}x_4     \\
\mbox{s.c.q.} & \left\{ \begin{array}{rcrcrcrcrcr}
                x_1 &&     & + & \frac{1}{7}x_3 & + & \frac{2}{7}x_4& & &=& \frac{20}{7}  \\
                 & &  x_2  & & &+&x_4 &  & &=& 3  \\
                 & &    & &-\frac{2}{7}x_3 & + & \frac{10}{7}x_4 & + & x_5&=& \frac{23}{7}  \\
                \multicolumn{9}{r}{x_1  ,  x_2   ,  x_3 ,  x_4 , x_5}&>=&0
\end{array} \right.
\end{array}}
$$
un probl� lin�re sous sa forme �ivalente optimale.\\
On ajoute �e probl� la contrainte $x_1\le2$ et on vous demande, en utilisant l'algorithme dual simplexe, de calculer la solution
optimale du probl� modifi�

\section{(4pts)}
Donner le probl� dual du probl� lin�re suivant~:
$$
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1} \renewcommand{\arraycolsep}{1.0 pt}
\begin{array}{ll}
\max z & = \begin{array}{rcrcr} 8 \xi_1 & - & \xi_2 & + &5\xi_3 \end{array} \\
\mbox{s.c.q.} & \left\{
\begin{array}{rcrcrcrcr}
3\xi_1 & - &\xi_2 & + & \xi_3 & \leq & 3\\
 \xi_1 & + & 2\xi_2 & - &\xi_3 & = & -4\\
\xi_1 & + & \xi_2 & - &\xi_3 & \geq & 2\\
\xi_1 &  &     & & & \geq &  0\\
  &  & \xi_2     & & & \leq & 0\\ 
  &  &      & & \xi_3 &\in &  \mathbb{R} \\   
\end{array}\right.
\end{array}
 }
$$


\end{document}